Définition du produit scalaire

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}\) , est le nombre réel défini par :

• \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0\) si l'un des vecteurs est nul ;
• \(\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v}=\Vert\vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v} \Vert \times \cos\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)}\) dans le cas contraire.
  

Le réel \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) se lit « \(\vec{u}\) scalaire \(\vec{v}\) ». 

Remarques

1. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.
Le mot scalaire vient du mot latin scala, qui signifie « échelle ». En mathématiques, un scalaire désigne simplement un nombre réel qui sert à mesurer ou à échelonner quelque chose, d'où le lien avec la notion d'échelle.

2. On considère \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) trois points du plan tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{\text{AC}}\).
Ainsi, \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}}\Vert \times \cos\left(\overrightarrow{\text{AB}}\,;\overrightarrow{\text{AC}}\right)\).
Or \(\cos\left(\overrightarrow{\text{AB}}\,;\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\cos\left(\overrightarrow{\text{AC}}\,;\overrightarrow{\text{AB}}\right)\), donc on peut plus simplement considérer la mesure de l'angle géométrique \(\widehat{\text{BAC}}\), ce qui donne :
\(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}}\Vert \times \cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)}\).
3. Dans le cas où l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est aigu, son cosinus est positif, donc le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\) est positif.
Dans le cas où l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est obtus, son cosinus est négatif, donc le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\) est négatif.
Dans le cas où l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est droit, son cosinus est nul, donc le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\) est également nul.

Exemple

Soit \(\text A,\text B\) et \(\text C\) trois points distincts du plan tels que \(\text A\text B=5\), \(\text A\text C=3\) et \(\widehat{\text{BAC}}= \dfrac{\pi}{3}\).

\(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}}\Vert \times \cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\)
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=5\times 3\times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=5 \times 3 \times \dfrac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\)​​​​​​​